Перечисление функций
Вслед за разделом ТИПЫ идет раздел ФУНКЦИИ, в котором перечисляются операции, применяемые к экземплярам данного АТД. Как уже говорилось, эти операции будут главными компонентами определения типа, с их помощью описывается, что могут предложить его экземпляры, а не то, чем они являются.
Ниже приведен раздел ФУНКЦИИ для абстрактного типа данных STACK. Если вы разработчик ПО, то этот стиль описания вам знаком: строки этого раздела напоминают декларации типизированных языков программирования таких, как Pascal или Ada. Строка для операции new похожа на объявление переменной, остальные - на заголовки процедур.
Функции
В каждой строке вводится определенная математическая функция, моделирующая соответствующую операцию над стеком. Например, функция put представляет операцию, которая вталкивает элемент на вершину стека.
Почему функции? Большая часть программистов не посчитает такую операцию как put функцией. Когда во время работы программной системы операция
put применяется к стеку, она, как правило, изменяет этот стек, добавляя к нему элемент. Вследствие этого в приведенной выше классификации операций put была "командой" - операцией, которая может модифицировать объекты. (Две другие категории операций - это конструкторы и запросы).
Однако спецификация АТД - это математическая модель и в ее основании должны быть корректные математические методы. В математике понятие команды или, более общо, изменение чего-либо как таковое отсутствует: вычисление квадратного корня из числа 2 не изменяет само это число. Математические выражения просто определяют одни математические объекты в терминах некоторых других математических объектов. В отличие от вычисления программы на компьютере, они никогда не изменяют никакие математические объекты. Но поскольку мы нуждаемся в некотором математическом объекте для моделирования операций компьютера, то понятие функции представляется наиболее близким приближением.
Функция - это механизм для получения некоторого результата, принадлежащего некоторому результирующему множеству по любому допустимому входу, принадлежащему некоторому исходному множеству. Например, если R обозначает множество вещественных чисел, то определение функции
square_plus_one: R → R square_plus_one(x)= x2 + 1 (для каждого x из R)
вводит функцию square_plus_one, для которой R является и исходным и результирующим множеством и которая выдает для любого входа в качестве результата квадрат этого входа, увеличенный на 1.
Спецификации абстрактных типов данных используют именно это понятие. Например, операция put определяется как
put: STACK [G] × G → STACK [G]
и означает, что put будет брать два аргумента: STACK экземпляров типа G и экземпляр типа G и возвращать в качестве результата новый STACK [G]. (Более формально, множеством определения функции put является множество STACK [G] _ G, являющееся декартовым произведением множеств STACK [G] и G, т.е. множеством пар <s, x>, в которых первый элемент s принадлежит STACK [G] , а второй элемент
x принадлежит G.) Вот рисунок, иллюстрирующий это:
АТД имеют дело только с математическими функциями, у которых нет никаких побочных эффектов и которые, на самом деле, ничего не изменяют. Когда мы покинем утонченную сферу спецификации и попадем в неразбериху проектирования и реализации программ, нам придется восстановить понятие изменения, так как из-за накладных расходов мало кто одобрит программное окружение, в котором каждое выполнение операции "втолкнуть" в стек начинается с копирования этого стека. Мы рассмотрим позже переход от лишенного изменений мира АТД к полному изменений миру разработки ПО. Но поскольку сейчас мы хотим понять, как лучше всего определять типы, то математический взгляд на вещи нас вполне устраивает.
Из нашего обсуждения следуют роли операций, моделируемых каждой из функций спецификации STACK:
Рисунок на предыдущей странице иллюстрирует операцию put(s, x), выполняемую над стеком s и элементом x.
В разделе ФУНКЦИИ эти функции определяются не полностью, вводятся только их сигнатуры - списки типов их аргументов и результата. Сигнатура функции put
STACK [G] × G → STACK [G]
показывает, что put берет в качестве аргумента пару вида <s,x>, в которой s - экземпляр типа STACK [G], а x - экземпляр типа G, и возвращает в качестве результата экземпляр типа STACK [G]. Вообще говоря, множество значений функции (его тип указывается в сигнатуре правее стрелки, здесь это STACK [G]) может само быть декартовым произведением. Это можно использовать при описании операций, возвращающих два или более результатов.
В сигнатуре функций remove и item вместо обычной стрелки используется перечеркнутая стрелка
new: STACK
без всякой стрелки в сигнатуре. Фактически, это сокращение для записи
new: → STACK,
определяющей функцию без аргументов. Здесь аргументы не нужны, поскольку new должна всегда возвращать один и тот же результат - пустой стек. Поэтому для простоты мы убрали здесь стрелку. Результат применения этой функции (т. е. пустой стек) будет записываться new, как сокращение для new(), обозначающего результат применения new к пустому списку аргументов.
